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第五章 对数学产生怀疑

  在整个高中阶段,对李一触动比较大的其中一本书是《数学:确定性的丧失》。通过阅读这本书,李一对微积分、非欧几何、不同的数学流派以及哥德尔不完备性定理等有了一些了解。

  在读《数学:确定性的丧失》这本书之前,数学给李一的印象是严谨而准确的。然而,这本书颠覆了他的这种认知。尽管书中有些内容他没有完全看懂,但是他从此对数学产生了怀疑。

  有一次,数学老师在立体几何课上提到数学中的点是理想化的,并且长度都为零。李一对此表示疑问,他带着疑惑问道:“老师,现实中长度为零的点到底是什么样的?”

  “它们表示位置。”老师不假思索地说。

  “那么长度为零的位置是什么样的呢?”李一显然要刨根问底。

  “这不是你要考虑的问题,你只要把课本的知识学好就行了。”老师的话让李一没法接着追问下去。

  实际上,李一的老师并不知道这个问题的答案,而且当时没有一本书或者某个人能回答这个问题。不过,成年后的李一自己找到了答案。那就是,所谓的长度为零的点纯属虚构。可是,大量的数学知识都要基于存在长度为零的点这一假定,这意味着大量的数学知识实际上跟科幻故事或者无厘头的小说情节一样可有可无。

  对数学产生怀疑让李一无法继续专注地学习课本上的数学知识,尤其是在学习立体几何时,他的头脑里会不时浮现非欧几何中的一些论断。这种状态让他的数学成绩有所下降,但是他所看重的是事实真相而不是学习成绩。

  《数学:确定性的丧失》这本书中最为触动李一的是哥德尔不完备性定理。书中这样描述这个定理:“如果一个形式理论T足以容纳数论并且无矛盾,则T必定是不完备的。”接着,书中又进一步解释道:“这意味着,有这样一个数论的有意义的语句S,使S和非S用这个理论都证明不了。因为S或非S总会有一个是真的,于是就有一个数论的语句S,它是真的,又是不可证明的,故其是不可判定的。”

  “这个定理到底是怎么证明的呢?”李一很想掌握哥德尔不完备性定理的证明细节。

  尽管在《数学:确定性的丧失》这本书中,对于哥德尔不完备性定理的证明思路有所提及,但是仅仅根据书中所写,不足以让读者弄清楚这个定理是如何证明的。李一很想知道这个定理是如何证明的,但是他家附近的书店以及学校的图书馆都找不到相关的书。

  几经寻找,李一找到了一本相关的书,即郭世铭写的《递归论导论》。在这本书中,“哥德尔不完备性定理”被翻译成“哥德尔不完全性定理”,或者更明确地说是“哥德尔第一不完全性定理”。这本书对一个高中生来说,并不容易读懂。这次,李一虽然看到了这个定理的具体证明,但是他没能弄懂其中的一些细节。

  尽管李一对哥德尔第一不完全性定理曾经看得很重,但是随着年龄的增长,他对这个定理的兴趣变得很淡。他逐渐认识到数学中的形式系统不过是人为设计的产物,而且所有公理也都是人为给出的,它们并不都是基于客观事实的。从某种程度上来说,它们只是些推理游戏罢了。

肖演东 · 作家说
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