一个有思想的人
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第六章 上大学时的困惑

  高中的室友们都以为李一上大学会选择哲学专业,但是他却选择了经济学专业。一直以来,李一觉得读哲学书只是一种爱好,而读经济学专业则是为了能为社会做些有用的事。

  上大学时,给李一留下深刻印象的其中一门必修课是微观经济学课。讲授这门课的老师在国外获得经济学博士学位,并在国外当了两年讲师。他的课很受欢迎,除了经济系的学生,其他系的一些学生也来听课。

  这天,老师在课上讲到了需求曲线。

  “我们用横坐标表示需求量,用纵坐标表示价格。假定其他条件不变,价格下降,需求量上升。所以,需求曲线是向右下方倾斜的。”老师一边用响亮的声音说着,一边拿着白板笔在白板上画图。

  李一和其他学生都专心地听着。

  “当价格之外的因素发生变动时,需求曲线会整体地向左或向右移动。”老师接着说。

  “为什么是这样的呢?”这让李一感到困惑,但是他没有在课堂上提问。

  下课后,李一走到老师面前,有些迟疑地问:“老师,为什么价格之外的因素发生变动,需求曲线就一定会整体向左或向右移动呢?”

  老师以为李一没听懂课上的内容,又重复讲解了一遍:“价格变动引起相应的需求量沿着需求曲线变动,而价格之外的因素引起每一价格所对应的需求量一起向左或向右移动。”

  “哦。”李一似乎没弄清楚自己到底是哪里有疑问,但是他感觉老师刚才的说法不严谨。所谓的天赋,有时就只是一种超乎多数人的直觉。在多数人看来正确无误的论断,那些有天赋的人却能敏感地觉察到其中的不足。

  不过,在整个大学阶段,除了这次提问,李一都没有去弄清楚自己的疑问到底是什么。直到若干年后的一天,李一又想起这个问题时,他尝试着给出“当价格之外的因素发生变动时,需求曲线会整体地向左或向右移动。”这句话的一个严格的证明。出乎意料的是,他发现这句话并不是一般成立的。这正是他当年的疑问所在。

  上大学期间,除了上必修课,李一很积极地去听那些自己感兴趣的选修课,比如数学欣赏课、先秦诸子经典选读课、美学概论课等。上这些选修课给李一带来了许多愉快的体验。

  在数学欣赏课上,老师提到了许多在《数学:确定性的丧失》这本书中有写到的内容。这门课给李一留下比较深印象的是关于康托尔的集合论的那节课。在这节课上,老师先介绍了康托尔所定义的一系列无穷基数,比如阿列夫零、阿列夫一、阿列夫二等。接着,老师演示如何证明自然数集和实数集不能构成一一对应以及自然数集和自然数集的幂集不能构成一一对应。再接着,老师提到了连续统假设以及如何证明一些跟集合论相关的数学命题,比如代数数有可数无穷多个等。

  李一对康托尔的集合论中那些反直观的论断感到十分困惑,比方说,集合论中认为正整数集{1,2,3,4,5,…}能和正偶数集{2,4,6,8,10,…}构成一一对应。从直观来说,正整数集的元素个数要远多于正偶数集的元素个数。虽然有一种说法,就是不能从有穷的角度看待一个涉及无穷的对象,但是李一仍觉得这似乎是不可能成立的。

  正如李一后来所发现的,康托尔的集合论实质上是不成立的。其中最大的问题恰恰隐藏于看起来最可靠的公理,即存在无穷集。比方说,正整数集是一个无穷集。按照康托尔的说法,正整数集的基数是阿列夫零。

  现在有一个问题,对于一个取值范围是全体正整数的变量n,n能不能趋向于阿列夫零?如果n不能趋向于阿列夫零,那么阿列夫零是怎么得来的?比如,n = 100时,{1,2,…,100}这个集合的元素个数正好是100。所以,如果集合{1,2,3,…,n}中的n不能趋向于阿列夫零,那么正整数集{1,2,3,4,5,…}的元素个数怎么会是阿列夫零呢?另一方面,集合论中证明两个无穷集合一一对应,比如正整数集{1,2,3,4,5,…}和正偶数集{2,4,6,8,10,…}一一对应,也不过是通过证明不管集合{1,2,3,…,n}中的n如何增加,这两个集合中的元素总能一一对应罢了。所以,如果n不能趋向于阿列夫零,那么这两个集合中的元素一一对应如何导出这两个集合的基数都是阿列夫零呢?

  可是,如果n能趋向于阿列夫零,那么任意一个常数都能趋向于阿列夫零。这是因为,阿列夫零有这样一种特殊性质,即阿列夫零减去任何一个正整数,所得到的结果仍然是阿列夫零。而正整数变量n不管怎么增加,所增加的总是一个有限的量,从而有,阿列夫零减去这个有限量所得仍然是阿列夫零。这意味着,n增加与不增加没有任何区别。举例来说,数字1和数字1亿的任意次方都是同等接近于阿列夫零的。所以说,如果n能趋向于阿列夫零,那么任意一个常数都能趋向于阿列夫零。然而,“任意一个常数都能趋向于阿列夫零”这一论断显然是荒谬的。

  这样一来,不管n能或者不能趋向于阿列夫零,都会导致站不住脚的论断。这样看来,阿列夫零不能具有康托尔的集合论中所认定的那种特殊性质。从另一种角度来说,阿列夫零的产生是基于诸如正整数集{1,2,3,4,5,…}这样的集合的。对于正整数集中的每个元素,都不具有其自身减去一个正整数后所得结果仍是自身这种特殊性质,那为什么阿列夫零能有这种特殊性质呢?这除了人为的编造,找不到任何其他可信的理由。

  由于阿列夫零的存在是否成立决定了阿列夫一、阿列夫二等一系列无穷基数的存在是否成立,所以如果阿列夫零的存在是不成立的,那么康托尔的集合论实质上是不成立的。另一方面,如果阿列夫零的性质跟普通的正整数一样,那么康托尔的集合论没有任何实际意义。

肖演东 · 作家说
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